Kurt Gödel, seorang ahli logika, lahir di Brno, di tempat yang sekarang menjadi Republik Ceko, dan menempuh pendidikan di Universitas Wina, di mana ia menjadi privatdozent pada tahun 1933.

Pada tahun 1940 ia bergabung dengan Institute for Advanced Study di Princeton, New Jersey, di mana dia bertahan selama sisa karirnya.

Mengikuti David Hilbert, Gödel berperan penting dalam membangun logika matematika sebagai cabang dasar matematika, mencapai hasil seperti teorema ketidaklengkapan yang memiliki dampak mendalam pada pemikiran abad kedua puluh.

Dalam filsafat, sebaliknya, ia mewakili jalan yang tidak diambil.

Dari beberapa tulisannya di bidang ini, termasuk publikasi anumerta, yang berfokus pada konsekuensi langsung dari karya matematikanya sendiri (dan terkait erat) memiliki dampak terbesar.

Pengaruh Gödel

Seorang mahasiswa dekat sejarah filsafat, Gödel mengikuti Plato, Gottfried Wilhelm Leibniz, dan Edmund Husserl sebagai lawan dari Aristoteles, Immanual Kant, dan Ludwig Wittgenstein yang lebih modis.(Namun, tentang Kant, lihat Gödel 1946/9 dan 1961.) Secara metodologis, dua pola dalam pemikirannya menonjol.

Pertama, kecenderungan untuk bergerak dari yang mungkin ke yang aktual tercermin dalam argumen ontologis Leibnizian-nya tentang keberadaan tuhan (Gödel 1970).

Dia bergantung di sini pada prinsip modal S5, (mungkin harus P tentu P).

Bisa juga, bisa dibilang, dilihat dalam Platonisme matematisnya—karena perbedaan antara yang mungkin dan yang aktual, yang relevan dengan wujud material, runtuh dalam ranah formal matematika (lihat Yourgrau 1999).

Akhirnya, dalam kosmologi relativistik (Gödel 1949, 1946/9) ia menyimpulkan dari kemungkinan keberadaan alam semesta yang berputar, di mana waktu hanyalah ideal, hingga idealitasnya di dunia nyata.

Kedua, dia disibukkan dengan menyelidiki secara matematis batas-batas metode formal dalam mewakili konsep-konsep intuitif.

Dalam teorema ketidaklengkapan pertamanya, misalnya, dengan menerapkan aritmetisasi metamatematika yang cerdik ke sistem aritmatika formal, Gödel mampu membuat formula yang mengekspresikan ketidakterbuktiannya sendiri, dan dengan demikian membuktikan (seperti yang dia jelaskan nanti) ketidakterdefinisian dalam sistem konsep intuitif kebenaran aritmatika (lihat Feferman 1984).

Sepanjang baris yang sama orang dapat melihat hasil dalam kosmologi sebagai menunjukkan batas-batas teori relativistik ruang-waktu dalam mewakili konsep intuitif waktu, meskipun di sini, menarik, tanggapannya adalah untuk meninggalkan konsep intuitif (lihat Yourgrau 1999).

Dari perspektif yang lebih luas Gödel mengisolasi dua pandangan dunia filosofis dasar: satu dengan arah “kiri”, menuju skeptisisme, materialisme, dan positivisme, yang lain cenderung ke “kanan”, menuju spiritualisme, idealisme, dan teologi (atau metafisika; Gödel 1961) .

Dia menempatkan empirisme di sebelah kiri dan apriorisme di sebelah kanan dan menunjukkan bahwa meskipun matematika, ilmu pengetahuan qua apriori, “berdasarkan sifatnya” berada di sebelah kanan; itu juga mengikuti semangat zaman dalam bergerak ke kiri—seperti yang disaksikan oleh munculnya formalisme Hilbert.

Dengan Gottlob Frege, Gödel menolak tren ini, menunjuk pada teorema ketidaklengkapannya sebagai bukti bahwa “kombinasi materialisme Hilbertian dan aspek matematika klasik .terbukti tidak mungkin” (1961, hlm.381).

Frege dan Gödel

Filsafat matematika Frege disatukan oleh dua untaian yang mungkin tampak dalam ketegangan satu sama lain: di satu sisi Platonisme dan realisme konseptualnya, di sisi lain konsepsinya tentang aritmatika sebagai analitik (yaitu, bertumpu pada definisi dan hukum logika) dan “prinsip konteks”-nya (yang tampaknya menempatkan kalimat kita—maka bahasa—di pusat filosofinya).

Aspek kedua dari pemikiran Frege ini, melalui Bertrand Russell dan Wittgenstein, membantu meyakinkan para positivis Lingkaran Wina (yang pertemuannya dihadiri Gödel) bahwa matematika tidak memiliki isi, hanya masalah (kurang lebih sewenang-wenang) konvensi linguistik mengenai sintaks ( bahasa formal.

Kesimpulan ini, bagaimanapun, ditolak oleh Frege dan Gödel (1944, 1951, 1953–59), Frege berharap, kontra Kant, “untuk mengakhiri penghinaan yang meluas terhadap penilaian analitik dan legenda sterilitas logika murni.” (1884, hlm.24; lihat juga 1879, hlm.55).

Gödel, pada bagiannya, menegaskan bahwa “‘analitik’ tidak berarti ‘benar karena definisi kami,’ melainkan ‘benar karena sifat konsep yang terjadi di dalamnya'” (1951, hal.321).(Lihat Parsons, 1994.) Frege dan Gödel lebih setuju melawan semangat zaman, bahwa aksioma dasar matematika seharusnya tidak hanya saling konsisten tetapi (secara nonhipotetis) benar.

Mereka juga menolak konsepsi Hilbert tentang sistem aksioma sebagai “definisi implisit,” dengan Gödel bersikeras bahwa sistem aksioma formal hanya sebagian mencirikan konsep yang diungkapkan di dalamnya.

Memang, Teorema Ketidaklengkapannya membuat poin ini secara dramatis: “Perlu terus-menerus meminta intuisi matematika … untuk solusi masalah teori bilangan finit..

Ini mengikuti dari fakta bahwa untuk setiap sistem aksiomatik ada banyak proposisi tak terhingga jenis ini” (1947 [1964], hlm.269).

Dan dalam kemampuan manusia—jika memang manusia memilikinya—untuk mengetahui aksioma baru secara terbuka, Gödel melihat kemungkinan argumen yang menyatakan bahwa pikiran bukanlah mesin (Turing) (Gödel 1951; Wang 1996).

Namun, intuisi macam apa ini? Gödel memang, memang benar, menggunakan istilah Kantian di sini, tetapi dia tidak berarti representasi individu langsung yang konkret, dan hanya pada titik ini dia menyalahkan Hilbert: “Apa yang dimaksud Hilbert dengan ‘Anschauung’ pada dasarnya adalah intuisi ruang-waktu Kant.… Catatan bahwa desakan Hilbert pada pengetahuan konkret yang membuat matematika finit sangat lemah dan mengesampingkan banyak hal yang sama tak terbantahkannya bagi semua orang seperti teori bilangan finit” (1958 [1972], hlm.272, n.b).(Lihat juga 1947 [1964], hlm.258.) Perhatikan, lebih lanjut, bahwa intuisi matematis, meskipun merupakan bentuk pengetahuan apriori, tidak menjamin kepastian mutlak, yang ditolak Gödel (Wang 1996); melainkan, seperti sepupunya yang lebih sederhana, persepsi indera, ia juga dapat mencapai berbagai tingkat kejelasan dan keandalan (lihat Gödel 1951, komentarnya tentang Husserl pada tahun 1961, dan Parsons 1995, 1995a).

Filosofi Gödel

Frege dan Hilbert, kemudian, berfungsi sebagai koordinat yang berguna dalam memetakan filosofi Gödel, dalam kecenderungannya ke “benar”.

Bagaimana jika seseorang memilih Albert Einstein sebagai koordinat ketiga? Perhatikan terlebih dahulu bahwa “idealistik” dalam judul Gödel (1949) bukanlah isyarat terhadap filsafat subjektif seperti yang dimiliki George Berkeley.

(Pada tahun-tahun terakhirnya, ia menjadi simpatik dengan idealisme Husserl di kemudian hari, yang tidak mengecualikan objektivisme.Lihat van Atten dan Kennedy 2003.) Sebaliknya, Gödel menunjuk pada perbedaan Platonis klasik antara penampilan dan kenyataan.

Meskipun dunia mungkin tampak (dengan indra) seolah-olah temporal, ini sebenarnya adalah ilusi.

Satu-satunya alasan—di sini, fisika matematika—dapat memberikan pemahaman yang lebih memadai tentang realitas (yaitu, tentang ruang-waktu Einstein-Minkowski).

Gödel membuat perbedaan tajam antara waktu intuitif, yang berlalu, dan komponen temporal ruang-waktu.

Dengan terangnya, sudah dalam teori relativitas khusus (STR) waktu intuitif telah menghilang, karena “keberadaan selang waktu objektif berarti bahwa realitas terdiri dari lapisan tak terhingga dari ‘sekarang’ yang muncul secara berurutan” ( Gödel 1949, hlm.202–203), sedangkan relativitas simultanitas dalam STR menyiratkan bahwa “setiap pengamat memiliki rangkaian ‘sekarang’ sendiri, dan tak satu pun dari berbagai sistem lapisan ini dapat mengklaim hak prerogatif untuk mewakili selang objektif dari waktu” (hal.203).

Pengamatan ini, bagaimanapun, bergantung pada kesetaraan semua “pengamat” atau kerangka acuan di STR, sedangkan dalam teori relativitas umum (GTR), di mana STR adalah kasus khusus yang diidealkan, keberadaan materi dan kelengkungan konsekuen ruang-waktu mengizinkan masuknya pengamat-pengamat istimewa, yang dengannya seseorang dapat mendefinisikan “waktu dunia” (yang, bisa dikatakan, secara objektif menyimpang).

Penemuan Gödel adalah bahwa ada model GTR—alam semesta yang berputar—di mana, terbukti, definisi waktu dunia seperti itu tidak mungkin.

Secara khusus, dunia-dunia ini mengizinkan perjalanan waktu, dalam arti bahwa, “untuk setiap kemungkinan definisi waktu dunia, seseorang dapat melakukan perjalanan ke wilayah alam semesta yang lewat menurut definisi itu,” dan “ini sekali lagi menunjukkan bahwa untuk mengasumsikan tujuan selang waktu akan kehilangan setiap pembenaran di dunia ini” (1949 hal.205).

Idenya di sini jelas bahwa jika suatu waktu telah “berlalu secara objektif”, itu tidak ada lagi dan karenanya tidak ada untuk ditinjau kembali (di masa depan).

Oleh karena itu, secara kontraposisi, jika dapat ditinjau kembali, sejak awal ia tidak pernah gagal secara objektif.

Namun, untuk menggambarkan alam semesta Gödel sebagai statis, yang bertentangan dengan alam semesta kita, akan menyesatkan.

Kapal roket penjelajah waktu, misalnya, akan bergerak dengan kecepatan setidaknya 1/2 dari kecepatan cahaya! Tampaknya bagi para pengamat, seperti halnya di dunia ini, bergerak dengan kecepatan tinggi, dan secara umum penghuni alam semesta Gödel mungkin mengalami waktu sebanyak yang kita alami di dunia nyata.

Memang, itulah mengapa Gödel bergerak dari sekadar kemungkinan keberadaan alam semesta Gödel ke idealitas waktu di dunia nyata, karena “jika pengalaman selang waktu dapat eksis tanpa selang waktu objektif, tidak ada alasan yang dapat diberikan mengapa selang waktu objektif harus diasumsikan sama sekali” (hal.206; lihat Yourgrau 1999).

Di sini, kemudian, adalah contoh lain dari kualitas pemikiran Gödel berwajah Janus, yang sudah ditunjukkan dalam aritmetisasi metamatematikanya — berkontribusi secara matematis ke “kiri” sementara pada saat yang sama, seperti yang dilihatnya, menunjuk ke “kanan.”

Filsafat Kurt Godel, Pemikiran Kurt Godel, Biografi Kurt Godel, Filosofi Kurt Godel