Biografi dan Pemikiran Filsafat Gottlob Frege

Setelah mempelajari matematika, fisika, kimia, dan filsafat di universitas Jena dan Göttingen, matematikawan, ahli logika, dan filsuf Jerman Gottlob Frege memperoleh gelar doktor matematika di Göttingen (1873) dan habilitasi matematika di Jena (1874).

Dari tahun 1874 hingga 1879 ia mengajar matematika di Universitas Jena sebagai dosen; pada tahun 1879 ia dipromosikan menjadi profesor tambahan, dan pada tahun 1896 menjadi profesor asosiasi.

Frege tidak pernah memperoleh jabatan profesor penuh.

Dia pensiun dari mengajar pada tahun 1917 karena sakit, menjadi emeritus pada tahun 1918.

Sementara dia menerima sedikit pengakuan profesional selama hidupnya, Frege secara luas dianggap pada awal abad kedua puluh satu sebagai ahli logika terbesar sejak Aristoteles, salah satu filsuf paling mendalam dari matematika sepanjang masa, dan nenek moyang utama filsafat analitik.

Tulisannya menunjukkan tingkat ketelitian dan ketepatan yang tidak dicapai oleh ahli logika lain sampai setelah kematian Frege.

Karya Utama

Dalam monograf Begriffsschrift (1879) Frege memperkenalkan penemuan teknisnya yang paling kuat, yang sekarang dikenal sebagai logika predikat.

Dalam buku keduanya, Die Grundlagen der Arithmetik (1884), ia membahas dasar-dasar filosofis gagasan bilangan dan memberikan argumen informal yang menyatakan bahwa aritmatika adalah bagian dari logika (tesis yang kemudian dikenal dengan julukan logikaisme).

Pamflet Funktion und Begriff (1891) adalah penjelasan dari perbedaan ontologis mendasar Frege antara fungsi (dengan konsep sebagai kasus khusus) dan objek; kesulitan tertentu dengan pandangan yang diungkapkan di dalamnya dibahas dalam esai “Über Begriff und Gegenstand” (1892).

Pencapaian Frege yang paling terkenal dalam filsafat bahasa, perbedaan antara pengertian dan acuan suatu ekspresi, diuraikan dalam esainya yang terkenal “Über Sinn und Bedeutung” (1892).

Grundgesetze der Arithmetik (volume 1, 1893; volume 2, 1903), magnum opus-nya, merupakan upayanya yang gagal (karena antinomi Bertrand Arthur William Russell) untuk membuktikan secara ketat tesis ahli logika.

Esai “Der Gedanke: Eine logische Untersuchung” (1918) adalah penyelidikan konseptual tentang kebenaran dan yang berkenaan dengan pertanyaan tentang kebenaran yang muncul (disebut pemikiran oleh Frege).

Logika Frege

Dengan mengganti analisis subjek-predikat penilaian tradisional dengan paradigma fungsi-argumen matematika dan menemukan mekanisme variabel kuantifikasi yang kuat, Frege mampu mengatasi keterbatasan silogistik Aristotelian dan menciptakan sistem pertama logika predikat (tingkat tinggi).

Dengan demikian dia merancang bahasa logis formal yang memadai untuk formalisasi proposisi matematika, terutama melalui kemungkinan mengungkapkan pernyataan umum perkalian seperti “untuk setiap bilangan prima, ada satu yang lebih besar.” Presentasi pertama dari begriffsschrift-nya (naskah konsep—bahasa rumus logika Frege) dimuat dalam monografi tahun 1879 dengan nama yang sama.

Pada saat ini, dasar-dasar linguistik dan filosofis begriffsschrift, serta deskripsi bahasa itu sendiri, masih agak kurang tepat.

Misalnya, tidak ada aturan pembentukan yang diberikan untuk rumus-rumus bahasa; fungsi tampaknya diidentifikasi dengan ekspresi fungsional; arti dari penghubung proposisional ditentukan dalam istilah penegasan dan penyangkalan daripada kebenaran dan kepalsuan; dan meskipun Frege secara resmi menyetujui hanya satu aturan inferensi, yaitu, modus ponens, dia diam-diam menggunakan aturan instantiasi untuk quantifier universal juga.

Volume pertama Grundgesetze, bagaimanapun, menyajikan versi sistem yang matang dan luar biasa ketat, dengan mempertimbangkan berbagai wawasan yang telah dikembangkan Frege sejak penerbitan Begriffsschrift.

Kecuali dinyatakan lain, pembahasan berikut berkaitan dengan sistem yang lebih baru ini; untuk saat ini, kita harus mengabaikan operator kursus nilai, yang akan dibahas nanti sehubungan dengan antinomi Russell.

Simbol primitif dari begriffsschrift Frege kemudian adalah simbol untuk kesetaraan, negasi, kondisi material, dan quantifier universal orde pertama dan lebih tinggi.

Selain itu, ada huruf gothic yang berfungsi sebagai variabel terikat (dari orde pertama dan lebih tinggi), serta huruf Latin, yang perannya saat ini akan dicirikan sebagai variabel bebas (sekali lagi, dari berbagai ordo).

Disjungsi, konjungsi, dan kuantifier eksistensial bukanlah primitif, juga tidak diperkenalkan sebagai singkatan, seperti yang biasa dilakukan saat ini; bukan, Frege mencatat bahwa mereka dapat disimulasikan dengan menggunakan primitif yang ada.

Frege dengan hati-hati membedakan antara hukum dasar (aksioma) di satu sisi, dan aturan inferensi di sisi lain.

Sehubungan dengan seperangkat hukum dasar dan aturan inferensi tertentu, ia mendekati definisi yang ketat tentang derivasi dalam kalkulus predikat.

Penghubung logis, serta quantifiers, dianggap menunjukkan ekspresi, memiliki sebagai referensi fungsi kebenaran yang diperlukan dan fungsi tingkat yang lebih tinggi, masing-masing.

Kesetaraan mengalami perubahan radikal dalam interpretasi antara waktu Begriffsschrift dan Grundgesetze.

Dalam sistem sebelumnya, dengan asumsi bahwa ekspresi A merujuk ke objek a, dan ekspresi B ke objek b, Frege menafsirkan identitas bentuk A = B secara metalinguistik, dengan mengartikan bahwa ekspresi A dan B adalah coreferential, bukan bahwa a dan b adalah objek yang sama.

Di Grundgesetze, bagaimanapun, identitas dipahami sebagai hubungan biner antara objek, seperti standar saat ini (perubahan interpretasi ini, kebetulan, disertai dengan peralihan notasi dari bilah rangkap ke bilah ganda yang sekarang biasa =).

Diperdebatkan, ada pergeseran analog dalam pemahaman quantifier universal; formulasi di Begriffsschrift menyarankan bahwa itu harus ditafsirkan secara substitusi, sedangkan di Grundgesetze cukup jelas bahwa interpretasi objektif dimaksudkan.

Tetapi masalahnya sulit untuk dinilai, bukan hanya karena bahasa dari karya sebelumnya agak tidak tepat, tetapi juga karena tidak jelas apakah Frege menyadari pentingnya perbedaan antara kuantifikasi objektual dan substitusi.

Pencapaian Frege yang mungkin paling mengesankan dalam logika murni adalah definisinya yang terkenal (dengan bukti kecukupannya) dari leluhur (atau penutupan transitif) R* dari relasi biner R dengan bantuan kuantifikasi orde kedua, sudah terkandung di Begriffsschrift dan pusat ke perusahaan logika.

Secara informal, sebuah objek a menyandang R* leluhur dari sebuah relasi R ke objek b jika b dapat dicapai dari a dalam jumlah langkah-R yang terbatas (bukan nol).

Artinya, setiap kali ada objek a1, a2, … , an (n > 1) sedemikian rupa sehingga a1Ra2, a2Ra3, … , an-1Ran, ​​maka a1 menanggung R* ke an.

Misalnya, jika R adalah relasi parenting (sehingga xRy berlaku jika dan hanya jika x adalah parent dari y), maka R* adalah relasi ancestor (yaitu, xR*y berlaku jika dan hanya jika x adalah ancestor dari y ), karena x adalah nenek moyang dari y jika y adalah anak dari x, atau anak dari x, atau anak dari anak dari x, dan seterusnya.

Ide Frege adalah untuk mendefinisikan R* dari R sebagai berikut: a berdiri dalam relasi R* ke b jika dan hanya jika b memiliki setiap properti F sedemikian rupa sehingga (1) semua objek yang menanggung R memiliki F, dan (2) F adalah turun-temurun terhadap relasi R (artinya, setiap kali sesuatu x memiliki properti F, dan x menanggung R ke beberapa y, maka y juga memiliki F).

Perhatikan bahwa definisi ini menggunakan kuantifikasi orde kedua (di atas semua sifat turun-temurun R F).

Jelas bahwa, jika b dapat dicapai dari a dalam jumlah langkah R yang tak terbatas, maka definisi Frege dengan tepat menyiratkan bahwa aR*b, karena jika F adalah sembarang properti dan b dapat dicapai dari a dalam satu langkah, maka oleh klausa (1) definisi b harus memiliki F, dan jika b dapat dicapai dari a dengan sejumlah R-langkah lebih besar dari 1, seseorang harus melewati objek yang menanggung R, dan dengan demikian memiliki F oleh ayat (1), dan setiap objek selanjutnya yang dilalui, termasuk objek terakhir b, harus memiliki F pada ayat (2).

Sebaliknya, jika b tidak dapat dicapai dari a dalam jumlah langkah R yang tak terbatas, maka b hanya kekurangan properti yang dapat dijangkau dari a dalam sejumlah R-langkah yang terbatas (properti yang memenuhi kondisi [1] dan [2]).

Dalam notasi modern, definisi formal Frege adalah sebagai berikut: aR*b : } ” F((“x(aRx r Fx) & “x”y (Fx & xRy r Fy) ) r Fb).

Perlu dicatat, akhirnya, bahwa Frege tidak menganggap kalimat begriffsschrift-nya sebagai bentuk belaka, yang terbuka untuk interpretasi sewenang-wenang.

Sebaliknya, dia membawa mereka untuk mengekspresikan pemikiran yang pasti (yaitu, proposisi).

Ini dimanifestasikan dengan adanya simbol khusus, goresan penghakiman vertikal, yang kemunculannya di depan formula begriffsschrift menunjukkan bahwa isi formula itu benar-benar ditegaskan (dan tidak dibicarakan atau sekadar dihibur tanpa penilaian tentang kebenaran dan kepalsuan).

Sementara Frege memang membahas karakter formal logika dalam hal pelestarian konsekuensi pada penggantian ekspresi nonlogis untuk orang lain (saksikan korespondensinya dengan David Hilbert dan seri esai 1906 “Über die Grundlagen der Geometrie”), ia menunjukkan sedikit kecenderungan untuk mengejar penyelidikan semacam itu.

Frege juga tidak banyak bicara tentang karakterisasi proposisi sebagai kebenaran logis; tidak ada indikasi bahwa dia memikirkan kriteria teori model Alfred Tarski.

Dia kadang-kadang menyatakan bahwa aksioma logis diperlukan untuk menjadi “jelas”, tetapi umumnya menerima begitu saja bahwa hukum dasar spesifik yang dia tetapkan sebenarnya adalah kebenaran logis.

Ontologi dan Filosofi Bahasa

Ontologi dewasa Frege dicirikan oleh dikotomi mendasar antara entitas atau objek jenuh (Gegenstände) di satu sisi, dan entitas atau fungsi tak jenuh di sisi lain.

Fungsi tidak jenuh atau tidak lengkap dalam arti membawa tempat argumen yang perlu diisi objek adalah segala sesuatu yang bukan fungsi.

Konsep adalah fungsi khusus, yaitu, fungsi yang nilainya selalu salah satu dari dua nilai kebenaran: Benar dan Salah (yang Frege anggap sebagai objek, seperti yang akan dijelaskan).

Ranah fungsi bertingkat: Fungsi unary yang memetakan objek ke objek adalah level pertama, fungsi unary yang memetakan fungsi level pertama ke objek adalah level kedua (contohnya adalah konsep yang dilambangkan dengan quantifier eksistensial level pertama, yang memetakan setiap level pertama konsep di mana beberapa objek jatuh ke Yang Benar, dan semua konsep tingkat pertama lainnya ke Yang Salah), dan seterusnya.

Stratifikasi menjadi lebih rumit dengan fungsi lebih dari satu argumen, karena terdapat, misalnya, fungsi dua argumen dengan satu tempat argumen untuk fungsi tingkat pertama unary dan satu tempat argumen untuk objek (contohnya adalah fungsi aplikasi, yang memetakan fungsi tingkat pertama unary f dan objek a ke hasil f(a) penerapan f ke a), dan seterusnya.

Dikotomi jenuh-tak jenuh, bagi Frege, memiliki paralel dalam ranah linguistik.

Istilah tunggal, seperti nama diri dan deskripsi pasti, (secara linguistik) jenuh (atau lengkap) dan merujuk pada objek; predikat dan ekspresi fungsional tidak lengkap dan mengacu pada fungsi.

Dalam menentukan status ontologis entitas tertentu, Frege sering melanjutkan dengan menganalisis ekspresi yang digunakan untuk merujuknya dan mengambil sifat jenuh atau tidak jenuh dari ekspresi sebagai panduan yang dapat diandalkan untuk status saturasi ontologisnya.

Sekarang karena ungkapan “kuda konsep” secara tata bahasa adalah istilah tunggal, Frege menganggapnya sebagai objek, yang mengikatnya pada klaim paradoks bahwa kuda konsep bukanlah konsep (bandingkan dengan “Über Begriff und Gegenstand”).

Dalam upaya untuk mengatasi kesulitan ini Frege mengusulkan bahwa dengan setiap konsep F dikaitkan objek (proxy) tertentu yang berfungsi sebagai referensi dari “konsep F” (beberapa komentator percaya bahwa Frege bermaksud ekstensi F menjadi objek proxy ini, tetapi masalah penafsiran tetap diperdebatkan).

Namun, tetap ada masalah mendasar, karena di satu sisi, objek dan konsep termasuk dalam kategori ontologis yang berbeda, sehingga tidak ada predikat yang dapat diterapkan secara bermakna baik pada konsep maupun objek; tetapi di sisi lain, penjelasan Frege tentang perbedaan kategoris ini mengharuskannya untuk menggunakan predikat “adalah objek” dan “adalah konsep” hanya dengan cara ini — sebagai predikat kontras (tidak kosong) yang dapat diterapkan pada item yang sama.

Ini menciptakan beberapa kesulitan yang terkenal, beberapa di antaranya dibahas dalam esai “Über Begriff und Gegenstand,” karena istilah tunggal seperti “kuda konsep” tidak dapat, menurut Frege, merujuk pada konsep, tetapi merujuk pada objek (proksi) tertentu.

Penemuan Frege yang paling terkenal mungkin adalah perbedaannya antara pengertian (Sinn) dan acuan (Bedeutung) dari ekspresi linguistik, pertama kali diperkenalkan dalam buklet pendeknya tahun 1891 Funktion und Begriff, dan diuraikan secara rinci dalam esai tahun 1892 “Über Sinn und Bedeutung.” Dalam kasus istilah tunggal, referensinya adalah objek yang dilambangkan dengan istilah tersebut, sedangkan pengertiannya ditentukan oleh cara objek itu disajikan melalui ekspresi (mode penyajiannya).

Frege memahami kalimat (deklaratif) lengkap, mungkin tidak tepat, sebagai istilah tunggal yang aneh, sehingga referensi mereka, objek logis khusus yang Benar dan Yang Salah, masing-masing, adalah objek.

Pikiran yang diungkapkan oleh sebuah kalimat kemudian didefinisikan oleh Frege sebagai makna kalimat.

Arti sebuah kalimat dengan demikian adalah cara penyajian nilai kebenarannya; yaitu, pada pembacaan alami, kondisi kebenaran kalimat.

Dalam kasus ekspresi yang tidak lengkap, seperti predikat dan ekspresi fungsional, referensinya tentu saja adalah konsep dan fungsi tak jenuh yang sesuai.

Meskipun tidak secara eksplisit dibahas dalam “Über Sinn und Bedeutung,” menjadi jelas dari korespondensi Frege-Husserl bahwa Frege bermaksud agar pengertian akal juga berlaku untuk predikat.

Diskusi ilmiah berlanjut apakah Frege menganggap indra dari ekspresi tak jenuh sebagai fungsi, atau apakah dia menganggap semua indera sebagai objek (pendirian yang disarankan oleh fakta bahwa setiap indera dapat dirujuk melalui frasa nominal tunggal dari bentuk “indra dari ekspresi X”).

Dalam esai “Der Gedanke” Frege menguraikan pandangan Platonistik tentang indra sebagai penghuni “alam ketiga” dari entitas objektif yang tidak dapat dipahami, sebagai lawan dari objek (dapat dilihat) dari dunia luar dan konten subjektif (ide) dari manusia.

Pikiran

Frege termotivasi untuk memperkenalkan perbedaan referensi indra untuk memecahkan teka-teki tertentu, yang utama di antaranya (1) ketidakmungkinan nyata pernyataan identitas informatif dan (2) kegagalan nyata substitusi dalam konteks sikap proposisional.

Adapun (1), Frege berpendapat bahwa pernyataan “awal pagi adalah malam” dan “the morning star is the morning star” jelas berbeda dalam nilai kognitif (Erkenntniswert), yang tidak mungkin jika objek yang ditunjuk merupakan satu-satunya makna dari istilah tunggal.

Perbedaan sensereference memungkinkan seseorang untuk menghubungkan nilai-nilai kognitif yang berbeda dengan pernyataan identitas ini jika pengertian istilah yang mengapit tanda identitas berbeda, sementara masih memungkinkan objek yang dilambangkan menjadi satu dan sama.

Mengenai (2), Frege memperhatikan bahwa kalimat “John percaya bahwa bintang pagi adalah benda yang diterangi matahari” dan “John percaya bahwa bintang malam adalah benda yang diterangi matahari” mungkin memiliki nilai kebenaran yang berbeda, meskipun satu diperoleh dari yang lain dengan substitusi istilah coreferential.

Dia berpendapat bahwa, dalam konteks sikap proposisional, ekspresi tidak memiliki referensi yang biasa, tetapi merujuk pada indra biasa mereka (yang dengan demikian menjadi referensi tidak langsung); maka karena “bintang pagi” dan “bintang senja” berbeda dalam pengertian biasa, mereka tidak, dalam konteks yang ada, koreferensial, memiliki referensi tidak langsung yang berbeda.

Perdebatan berlanjut mengenai niat Frege mengenai indra ekspresi tidak langsung, khususnya apakah konteks sikap proposisional yang berulang menimbulkan hierarki indera tidak langsung yang tak terbatas.

Dalam pengantar Grundlagen Frege mengucapkan “tiga prinsip dasar” untuk penyelidikannya.

Yang pertama adalah peringatan untuk memisahkan logis dari psikologis (motif yang mengalir melalui semua karya Frege); tuntutan ketiga ketaatan pembedaan konsep-objek.

Tetapi prinsip kedua inilah yang paling menarik perhatian dan interpretasi: “jangan pernah menanyakan arti sebuah kata secara terpisah, tetapi hanya dalam konteks proposisi.” Formulasi lain (tidak jelas setara) dari prinsip tersebut terdapat di bagian 60, 62, dan 106 dari Grundlagen; beberapa penulis mengambil Frege untuk mengungkapkan pendahulu dari prinsip ini di bagian 9 dari Begriffsschrift, dan beberapa melihat gemanya di Grundgesetze, volume 1, bagian 29.

Interpretasi yang tepat dari prinsip konteks terus diperdebatkan.

Sementara beberapa filsuf menganggapnya sebagai yang paling penting untuk memahami filosofi Frege, yang lain melihatnya sebagai doktrin yang agak keliru dan tidak koheren yang tampaknya telah dia tinggalkan dalam karya-karya selanjutnya.

Mereka yang menganggap serius prinsip konteks sebagian besar menganggapnya sebagai semacam prioritas epistemologis kalimat (atau mungkin pemikiran yang diungkapkan olehnya) di atas item linguistik subsentif (atau mungkin indra mereka).

Sangat mudah untuk melihat mengapa seseorang mungkin memiliki keraguan tentang interpretasi seperti itu; setelah semua, setidaknya tampaknya bertentangan dengan prinsip Fregean lain, yaitu, komposisi (yang menurutnya arti/referensi dari ekspresi majemuk ditentukan oleh indra/referensi dari ekspresi penyusunnya), yang dia junjung tinggi Sepanjang hidupnya.

Filsafat matematika Frege Frege adalah, pertama dan terutama, seorang filsuf matematika.

Sementara dia mengikuti Immanuel Kant dalam mengambil kebenaran geometri (Euclidean) menjadi sintetik dan dapat diketahui secara apriori (dengan tegas mempertahankan pandangan ini terhadap metode aksiomatik Hilbert dalam geometri), dia dengan penuh semangat menentang Kant, untuk tesis ahli logika, yaitu, mengklaim bahwa kebenaran aritmatika, mungkin termasuk analisis nyata dan kompleks, bersifat analitik.

Dalam membandingkan pandangan Frege dengan Kant, bagaimanapun penting untuk diingat bahwa Frege beroperasi dengan definisi teknisnya sendiri tentang analitik dan sintetik, yang tidak secara jelas setara dengan Kant: Menurut Frege (Grundlagen 3), kebenaran matematis adalah analitik jika diturunkan melalui aturan inferensi logis dari hukum logis umum (dan definisi) saja, sedangkan sintetis jika tidak dapat dibuktikan tanpa bantuan kebenaran milik bidang pengetahuan tertentu.

Jadi, analitik dan sintetik adalah, bagi Frege, gagasan logika-epistemik, sementara Kant menganggapnya sebagai bagian semantik (penilaian analitik adalah penilaian yang predikatnya terkandung dalam subjek, mereka benar berdasarkan makna istilahnya) dan sebagian epistemik (penilaian sintetis memperluas pengetahuan seseorang, yang analitik tidak).

Dalam kata pengantar Begriffsschrift Frege menjelaskan bahwa pertanyaan tentang status epistemik kebenaran aritmatikalah yang mendorongnya untuk mengembangkan logika barunya.

Pada saat ini, Frege masih menghindari dukungan langsung dari tesis ahli logika, hanya menyatakan bahwa ia bermaksud untuk menyelidiki seberapa jauh seseorang dapat masuk ke dalam aritmatika dengan kesimpulan logis saja.

Tetapi ada sedikit keraguan bahwa dia sudah membayangkan jalan yang pasti di mana bukti terakhir dari logika adalah untuk melanjutkan.

Dengan demikian, ia mencatat di bagian 3 dari karya ini bahwa induksi matematika bertumpu pada teorema Begriffsschrift bahwa, jika suatu objek x menanggung penutupan transitif R* dari relasi biner R ke objek y, dan jika x memiliki F yang diwarisi sepanjang R, maka y juga memiliki F.

Oleh karena itu tampak jelas bahwa Frege sudah memahami kemungkinan untuk membuktikan secara logis prinsip induksi matematika setelah angka 0 dan hubungan penerus antara bilangan asli telah ditentukan dengan tepat, karena bilangan asli kemudian dapat diberikan hanya sebagai objek yang mengikuti 0 dalam transitif penutupan hubungan penerus.

Pada masa Grundlagen, doktrin logikaisme sudah mapan.

Setelah dengan keras mengkritik pilihan pandangan filosofis tentang gagasan angka (terutama pandangan empiris John Stuart Mill dan pandangan transendentalis Kant), Frege, di bagian kedua dari pekerjaan itu, memberikan garis besar informal, namun ketat tentang bagaimana pengurangan aritmatika menjadi logika sebenarnya dapat dilakukan.

Dia memulai upaya ini dengan menegaskan bahwa (1) anggapan bilangan melibatkan pernyataan tentang konsep dan (2) bilangan itu sendiri harus ditafsirkan sebagai objek.

Frege berpendapat untuk (1) dengan mencatat terlebih dahulu bahwa pernyataan tertentu, seperti kategoris universal seperti “semua paus adalah mamalia” dan pernyataan eksistensial seperti “ada buku di rak,” predikat sesuatu dari konsep (bukan individu).

Pernyataan contoh pertama jelas bukan tentang individu paus mana pun, tetapi mengatakan tentang konsep paus yang dimasukkan ke dalam konsep mamalia; contoh kedua menyatakan kekosongan buku konsep di rak.

Intinya bahkan lebih jelas sehubungan dengan pernyataan eksistensial yang dinegasikan; “tidak ada bulan Venus” jelas bukan tentang bulan apa pun di Venus (jika pernyataan itu benar, tidak ada bulan), tetapi menyangkal bahwa ada sesuatu yang termasuk dalam konsep bulan Venus.

Memang, Frege mencatat, mengatakan bahwa tidak ada bulan Venus sama dengan menganggap angka nol pada konsep bulan Venus.

Dan seperti dalam contoh-contoh ini, pernyataan numerik “ada empat buku di rak” jelas tidak merujuk pada buku tertentu; sebaliknya, itu juga merupakan pernyataan tentang buku konsep di rak.

Tesis bahwa anggapan angka paling baik dipahami, dalam analogi dengan contoh-contoh ini, sebagai pernyataan tentang konsep, lebih lanjut didukung oleh pengamatan bahwa pernyataan numerik sehari-hari selalu melibatkan kata benda atau predikat umum, yang, menurut Frege, merujuk pada konsep.

Selain itu, dihadapkan pada kenyataan bahwa seseorang dapat dengan keadilan yang sama mengatakan “ada satu setumpuk kartu di atas meja,” “ada lima puluh dua kartu di atas meja,” dan “ada empat set kartu di atas meja,” seseorang diarahkan pada pengakuan bahwa ada standar unit yang berbeda yang terlibat dalam pernyataan ini, dan tampaknya sangat wajar untuk mengidentifikasi konsep masing-masing sebagai standar unit ini.

Tesis (2) adalah konsekuensi dari pandangan Frege bahwa kategori ontologis suatu entitas dapat dibaca dengan andal dari kategori ekspresi linguistik yang menunjukkan entitas: Menurut Frege, istilah bilangan biasanya muncul sebagai istilah tunggal dalam bahasa alami, misalnya, sebagai “jumlah kartu di atas meja” atau “nomor empat.” Selanjutnya, istilah bilangan aritmatika murni biasanya mengapit simbol kesetaraan, posisi yang, menurut Frege, dicadangkan untuk istilah tunggal.

Oleh karena itu, Frege menyimpulkan, angka pastilah objek.

Jadi di satu sisi, bilangan, sifat-sifat qua konsep, tampaknya merupakan konsep (tingkat tinggi); namun di sisi lain, mereka harus ditafsirkan sebagai objek.

Frege memecahkan kesulitan yang tampak ini dengan menyarankan bahwa penggunaan atributif dari kata-kata angka, seperti dalam “Jupiter memiliki empat bulan,” selalu dapat diparafrasekan, seperti dalam “jumlah bulan Jupiter adalah empat” (atau, bahkan lebih eksplisit, ” nomor milik konsep bulan Jupiter adalah empat”).

Dalam pernyataan terakhir, Frege mengklaim, itu harus menunjukkan identitas dan tidak dapat berfungsi hanya sebagai kopula, karena empat adalah istilah tunggal, dan istilah tunggal tidak dapat mengikuti adalah predikat.

Penggambaran paradigmatik bilangan kemudian memiliki bentuk “bilangan milik F = x”, di mana F menyatakan predikat dan x suku tunggal.

Dengan demikian, suku bilangan hanya merupakan bagian dari sifat (tingkatan yang lebih tinggi) yang dianggap berasal dari konsep tersebut, sehingga sifat objektif bilangan dan sifat atributif dari anggapan bilangan memang cocok.

Frege selanjutnya mengidentifikasi batasan yang harus dipatuhi oleh rekonstruksi aritmatikanya.

Yang sangat penting untuk aritmatika adalah penilaian pengakuan, yaitu identitas, dan definisi gagasan teori bilangan yang diperlukan untuk pembuktian tesis ahli logika harus memastikan bahwa, khususnya, identitas bentuk “bilangan milik F = nomor milik G” menerima kondisi kebenaran yang tepat.

Untuk jenis pernyataan identitas khusus ini, kondisi kebenaran dapat dengan mudah dirumuskan dalam suku-suku logis (orde dua diadik), yaitu, bilangan milik F sama dengan bilangan milik G jika dan hanya jika terdapat relasi biner R yang mengkorelasikan objek-objek yang F satu-satu dan seterusnya dengan objek yang G.

Karena Frege mengutip bagian yang agak tidak jelas dari David Hume pada titik ini di Grundlagen, prinsip tersebut, mungkin secara tidak tepat, kemudian dikenal sebagai prinsip Hume (HP).

Frege menolak HP sebagai definisi dari “bilangan milik F” dengan alasan bahwa ia gagal untuk menentukan kondisi kebenaran untuk konteks bentuk “bilangan milik F = x,” di mana x adalah istilah yang tidak memiliki bentuk “bilangan milik G,” misalnya, ketika x adalah variabel individu.

(Keberatan ini sekarang biasanya disebut sebagai masalah Caesar — ​​agak tidak akurat, karena Frege menggunakan Julius Caesar sebagai contoh dalam menentang proposal definisi yang sedikit berbeda).

Beberapa komentator berpendapat bahwa satu-satunya poin Frege dalam mengajukan keberatan ini adalah untuk menunjukkan bagaimana HP tidak memadai sebagai definisi angka seperti yang dijelaskan sebelumnya.

Komentator lain melihat Frege berjuang di sini untuk mencapai kondisi yang memadai untuk pengenalan konsep sortir baru ke dalam bahasa.

Namun, pada pembacaan seperti itu, sulit untuk melihat mengapa Frege tidak terganggu oleh masalah analog yang jelas muncul untuk perluasan konsep di Grundgesetze.

Bagaimanapun Frege mengusulkan definisi eksplisit dari “bilangan milik F” yang pada dasarnya sama dengan mengambil nomor ini menjadi kelas ekivalensi F di bawah relasi ekivalensi ekunumeritas (yang dijelaskan dalam hal keberadaan satu- satu dan ke korelasi): nomor milik F, Frege menetapkan, adalah perpanjangan dari konsep “konsep sama dengan F.” Frege bergantung pada pemahaman naif tentang gagasan ekstensi (kemudian, di Grundgesetze, ekstensi itu sendiri akan diatur oleh aksioma yang terbukti fatal bagi proyek Frege).

Frege kemudian mendefinisikan objek a menjadi bilangan (kardinal) jika ada konsep F sedemikian rupa sehingga a adalah bilangan milik F.

Dari definisi eksplisit bilangan milik suatu konsep, Frege melanjutkan untuk menunjukkan bahwa HP dapat diturunkan dengan berarti logika murni dan mendefinisikan 0 sebagai angka yang termasuk dalam konsep “adalah objek yang tidak identik dengan dirinya sendiri” dan 1 sebagai angka yang termasuk dalam konsep “adalah objek yang identik dengan 0.” Relasi penerus antara bilangan kardinal didefinisikan sebagai berikut: n berhasil m jika n adalah bilangan yang termasuk dalam suatu konsep F di mana suatu benda a jatuh, dan m adalah bilangan yang termasuk dalam konsep “adalah suatu benda yang berada di bawah F, tetapi tidak identik dengan a.” Tanpa bukti Frege menyebutkan teorema bahwa setiap angka memiliki paling banyak satu penerus dan satu pendahulu, dan bahwa setiap angka kecuali 0 menggantikan beberapa angka.

Memanfaatkan definisinya tentang leluhur (penutupan transitif) dari hubungan biner (seperti yang dikembangkan dalam Begriffsschrift), ia mendefinisikan bilangan hingga atau bilangan asli sebagai objek yang berdiri hingga 0 dalam penutupan refleksif transitif dari relasi penerus, yaitu, secara informal , karena angka-angka itu dapat dicapai dari 0 dengan mengambil penerus hingga berkali-kali.

Frege mengamati bahwa definisi ini memungkinkan bukti yang agak langsung dari prinsip induksi matematika untuk bilangan asli.

Pada titik ini, ia telah secara efektif memulihkan semua aksioma aritmatika Peano (orde kedua) dari definisinya, kecuali yang mengharuskan setiap bilangan asli memiliki penerus.

Frege membuat sketsa bukti untuk aksioma yang tersisa ini, yang pada akhirnya terdiri dalam menunjukkan melalui induksi bahwa, untuk bilangan asli n, bilangan yang termasuk dalam konsep “objek yang n menanggung penutupan refleksif transitif dari hubungan penerus” (yaitu, secara informal, “bilangan asli kurang dari atau sama dengan n”) berhasil n (bukti yang sepenuhnya rinci dilakukan di Grundgesetze, meskipun tidak sepenuhnya jelas apakah ini adalah bukti yang sama yang Frege maksudkan di Grundlagen).

Sementara eksposisi Grundlagen sepenuhnya informal, Grundgesetze, yang Frege harapkan menjadi kata terakhir pada sifat logis aritmatika, melakukan sketsa sebelumnya dengan ketelitian penuh, berisi halaman dan halaman deduksi formal dalam notasi begriffsschrift.

Elemen penting yang ditambahkan dalam Grundgesetze adalah perlakuan yang ketat terhadap perluasan konsep (lebih tepatnya, kursus-nilai fungsi, di mana perluasan konsep merupakan kasus khusus).

Ini diatur oleh hukum dasar Frege V, yang kasus khusus untuk konsep mengatakan bahwa ekstensi konsep F dan G bertepatan jika dan hanya jika objek yang sama termasuk dalam F dan termasuk dalam G.

Penggunaan ekstensi memungkinkan untuk teknik tipe- menurunkan: Konsep tingkat pertama dapat disimulasikan dengan ekstensinya, konsep tingkat kedua H dapat disimulasikan oleh konsep tingkat pertama yang secara tepat termasuk perluasan konsep yang termasuk dalam H, dan seterusnya.

Frege menggunakan teknik ini secara ekstensif; khususnya, alih-alih mendefinisikan bilangan milik F sebagai perpanjangan dari konsep tingkat kedua “konsep sama dengan F”, ia sekarang dapat menganggap bilangan sebagai ekstensi dari bilangan bulat tingkat pertama.

Kalau tidak, dia mengikuti sketsa Grundlagen dengan cermat.

Seperti yang ditunjukkan Russell dalam sebuah surat kepada Frege pada tahun 1902, teori yang diuraikan di Grundgesetze tidak konsisten, karena memungkinkan untuk derivasi antinomi Russell: Membiarkan R menjadi konsep tingkat pertama “x adalah perpanjangan dari beberapa konsep di mana x tidak tidak jatuh,” dan r perluasannya, ia mengikuti dengan mudah dari aturan inferensi Frege, bersama dengan hukum dasar V, bahwa r keduanya jatuh dan tidak termasuk di bawah R.

Frege segera menyadari bahwa antinomi mengancam untuk merusak pekerjaan hidupnya.

Sementara volume kedua Grundgesetze sedang dicetak, dia buru-buru merancang perbaikan cepat yang kemudian dikenal sebagai jalan keluar Frege dan menambahkan lampiran ke buku itu, mengungkapkan keyakinan bahwa sistem yang direvisi akan terbukti mampu merekonstruksi aritmatika dan kekhawatiran tentang landasan filosofis dari hukum dasarnya yang direvisi jalan keluar V.

Frege terbukti bukan jalan keluar, karena tidak sesuai dengan keberadaan lebih dari satu objek.

Asal usul antinomy dalam sistem Frege sekarang sudah dipahami dengan baik; itu muncul melalui interaksi dua prinsip yang konsisten secara individual, yaitu, hukum dasar V seperti yang disebutkan sebelumnya dan pemahaman tingkat kedua impredikatif (kira-kira, pernyataan yang menyatakan bahwa ada konsep dengan properti tertentu, di mana properti itu sendiri ditentukan dengan bantuan kuantifikasi atas konsep); Sistem Frege dengan hukum dasar V tetapi hanya contoh predikatif pemahaman sekarang diketahui konsisten, tetapi terlalu lemah untuk memungkinkan rekonstruksi matematika substansial.

Karya Frege atas dasar logis dari analisis nyata tetap terpisah-pisah; volume kedua Grundgesetze hanya berisi definisi dan teorema awal.

Agaknya dia telah merencanakan volume ketiga, yang, bagaimanapun, tidak pernah muncul.

Menjelang akhir hidupnya, Frege tampaknya telah meninggalkan logika sama sekali, menunjukkan bahwa aritmatika malah didasarkan sepenuhnya pada geometri, dan karenanya sintetis, seperti yang dipegang Kant.

Namun, gagasannya tentang bagaimana klaim semacam itu dapat dibuktikan, tidak pernah berhasil.

Neo-Fregeanisme

Frege sendiri, dan generasi filsuf dan ahli logika setelahnya, menganggap konten matematika Grundlagen dan Grundgesetze sebagian besar sudah usang karena inkonsistensi teori perluasan konsep Frege.

Namun, pada 1980-an, mulai diakui bahwa Frege memang menemukan fakta yang menarik: Jika seseorang mengambil kerangka teori Frege sebagai logika predikat urutan kedua dan mengadopsi HP (dengan operator primitif “nomor milik,” melekat pada ekspresi konsep) sebagai aksioma, semua aritmatika Peano orde kedua menjadi dapat diturunkan, menggunakan definisi dan bukti yang tepat yang digunakan oleh Frege (yang menggunakan definisi eksplisit “jumlah F” hanya untuk membuktikan HP darinya, memperoleh semua hasil lebih lanjut langsung dari HP).

Fakta ini kemudian dikenal sebagai teorema Frege.

Yang penting, segera diamati bahwa aritmatika Frege (yaitu, logika orde kedua aksiomatik penuh ditambah HP) konsisten, bertentangan dengan sistem Grundgesetze (memang, konsisten relatif terhadap aritmatika Peano orde kedua).

Masih diperdebatkan apakah, dan sejauh mana, penemuan-penemuan ini memiliki pengaruh pada validitas tesis ahli logika (terbatas pada aritmatika yang tepat).

Meskipun tidak ada yang secara serius menyarankan bahwa HP dapat dianggap sebagai prinsip logika, beberapa berpendapat bahwa ia tetap menikmati beberapa status epistemologis istimewa yang mirip dengan analitik, prinsipnya, dalam beberapa hal, “analitik” nomor.

Namun, ada kesulitan serius dalam mempertahankan aritmatika Frege sebagai analitik.

Untuk memulainya, ada masalah umum tentang status logika orde kedua itu sendiri, cukup independen dari HP.

Tetapi bahkan memberikan logika orde kedua yang dapat dihitung sebagai logika dalam arti yang diperlukan, keberatan lebih lanjut berlaku untuk HP.

Pertama, prinsip tersebut tidak bersalah secara ontologis, karena prinsip tersebut membutuhkan domain orde pertama menjadi tak terhingga, yang biasanya dianggap tidak sesuai dengan analitik.

Kedua, setiap upaya untuk mendasarkan status logis HP istimewa pada bentuk logisnya (dari prinsip abstraksi) bertentangan dengan “keberatan perusahaan yang buruk”: Ada prinsip abstraksi dengan bentuk logis umum yang sama dengan HP yang tidak konsisten (seperti hukum dasar Frege V).

Terlebih lagi, ada prinsip abstraksi (seperti prinsip paritas Boolos) yang hanya berlaku di domain terbatas, yang membuatnya tidak kompatibel dengan HP, dan karenanya tidak dapat menjadi bentuk logis dari prinsip abstraksi saja yang dapat membuat HP analitik.

Penelitian tentang prinsip-prinsip abstraksi telah meningkat secara signifikan sebagai konsekuensi dari diskusi ini, seperti halnya pekerjaan pada fitur logika dan matematika umum dari sistem Frege.

Pengaruh Frege

Melalui publikasinya, serta melalui korespondensi pribadi, Frege memberikan pengaruh besar pada Russell, yang tampaknya menjadi pemikir besar pertama yang menyetujui membangkitkan prestasi Frege dalam logika.

Russell mengambil alih obor ahli logika dari Frege, dan meskipun Alfred North Whitehead dan Principia Mathematica karya Russell berbeda dalam banyak hal dari karya Frege (lingkupnya jauh lebih luas, kurang ketat, dan, mengingat antinomi Russell, mengambil pendekatan yang berbeda untuk kelas), itu jelas juga sangat dipengaruhi oleh Frege (misalnya, dalam memaksakan struktur level, atau tipe, pada ontologi yang mendasarinya, dan dalam definisi angka, saat ini sering disebut sebagai definisi Frege-Russell dari bilangan kardinal) .

Diketahui bahwa Russell telah membaca “Über Sinn und Bedeutung” dan setidaknya sebagian dari Grundgesetze ketika ia mengembangkan teori deskripsinya yang terkenal; dan sementara tidak ada bukti langsung untuk klaim semacam itu, tampaknya masuk akal untuk berasumsi bahwa diskusi Frege tentang deskripsi pasti dalam karya-karya ini (terutama teori formal Grundgesetze yang sepenuhnya berhasil) memberikan foil yang membantu untuk teori Russell sendiri.

Sejauh mana Frege mempengaruhi Edmund Husserl adalah masalah yang lebih kontroversial.

Diketahui bahwa Husserl membaca semua karya utama Frege dan keduanya berhubungan secara luas (kecuali setelah ulasan Frege yang agak bermusuhan [1894] tentang Philosophie der Arithmetik karya Husserl [1891]).

Tampaknya adil untuk mengatakan bahwa Frege (khususnya, melalui ulasan yang disebutkan di atas, serta kata pengantar untuk volume pertama Grundgesetze) setidaknya sebagian bertanggung jawab atas giliran antipsikologis Husserl.

Sementara Frege tidak bertemu Russell maupun Husserl secara langsung, dia memiliki interaksi pribadi dengan Rudolf Carnap dan Ludwig Josef Johann Wittgenstein.

Sebagai seorang siswa, Carnap mendaftar di berbagai kelas tentang begriffsschrift yang diajarkan oleh Frege di Jena antara tahun 1910 dan 1914; tentunya Frege yang menanamkan di Carnap gagasan bahwa matematika dapat direduksi menjadi logika, pandangan yang menjadi pusat filosofi Lingkaran Wina.

Secara lebih umum, Frege membentuk seluruh sikap Carnap terhadap filsafat.

Setelah imigrasinya ke Amerika Serikat, Carnap, dengan Gereja Alonzo, berperan penting dalam menjaga ide-ide Fregean dalam logika tetap hidup di Amerika Serikat (di mana mereka berkembang, misalnya, dalam karya semantik David Kaplan dan Richard Montague).

Wittgenstein pertama kali mengunjungi Frege di Jena pada tahun 1911, dan kemudian setidaknya dua kali lagi, pada tahun 1912 dan 1913, ketika dia menjadi murid Russell di Cambridge.

Selain itu, keduanya berkorespondensi agak luas dari tahun 1911 hingga 1920; jelas dari korespondensi ini bahwa Frege dan Wittgenstein sangat memikirkan satu sama lain (akhir korespondensi ditandai dengan pertukaran komentar yang agak kritis oleh Frege tentang Tractatus dan oleh Wittgenstein tentang “Der Gedanke”).

Tema Fregean meliputi karya Wittgenstein awal dan akhir, dan tampaknya rasa hormat intelektual Wittgenstein untuk Frege tidak pernah surut.

Terlepas dari kelompok koresponden termasyhur ini, Frege selama bertahun-tahun dianggap sebagai pendahulu Russell yang agak kabur dan akhirnya gagal, mungkin karena beberapa filsuf sepenuhnya mengakui pengaruh Frege terhadap mereka (tentu saja, tingkat pengaruh ini mungkin tidak jelas.

kepada mereka pada saat itu).

Pada 1930-an Heinrich Scholz dan sekolahnya di Münster, Jerman, menemukan kembali Frege dan mulai mengerjakan edisi karyanya, tetapi itu tidak pernah terwujud.

Situasi agak berubah setelah terjemahan bahasa Inggris John Langshaw Austin tentang Grundlagen, yang muncul pada tahun 1950; Frege dibaca, pada waktu itu, terutama sebagai seorang filsuf bahasa, dan dengan demikian dipengaruhi, antara lain, filsuf Inggris Peter Geach.

Orisinalitas dan independensi karya Frege (terutama dari karya Russell), serta peran pentingnya sebagai nenek moyang filsafat analitik, menjadi terkenal melalui tulisan-tulisan Michael Dummett pada 1970-an, yang sangat dipengaruhi oleh metodologi dan minat Frege.

Di Amerika Serikat, selain yang disebutkan sebelumnya, karya Donald Davidson juga menghidupkan kembali diskusi tentang tema Fregean.

Neologisme Crispin Wright, terutama yang kemudian diartikulasikan dan dikritik oleh George S.

Boolos dan yang lainnya, menyebabkan kebangkitan minat yang nyata pada karya logis dan matematis Frege, dimulai pada 1980-an dan berlanjut hingga hari ini.