Biografi dan Pemikiran Filsafat Georg Cantor

Georg Cantor, seorang ahli matematika yang menciptakan teori himpunan dan teori bilangan transfinit yang sesuai, merevolusi matematika pada akhir abad kesembilan belas dengan ide-idenya tentang yang tak terbatas, yang menjadi sangat penting tidak hanya untuk matematika tetapi untuk filsafat dan banyak sekutu.

Georg Cantor : Biografi dan Pemikiran Filsafat

Ia lahir pada 3 Maret 1845, di St. Petersburg, Rusia, dari pasangan Georg Woldemar Cantor, seorang pedagang sukses dan putra seorang pengusaha Yahudi dari Kopenhagen, dan Maria Anna Böhm, yang berasal dari keluarga musisi terkenal dan merupakan Katolik Roma.

Tetapi ayah Cantor, yang dibesarkan dalam misi Lutheran, adalah orang yang sangat religius dan mewariskan keyakinannya yang kuat kepada putranya.

Di kemudian hari, keyakinan agama Cantor akan memainkan peran penting dalam keyakinannya yang teguh pada kebenaran teori himpunan transfinite yang kontroversial, sama seperti agama Katolik ibunya mungkin telah membuatnya sangat setuju dengan korespondensi substansial yang dia lakukan dengan para teolog Katolik mengenai sifat yang tak terbatas dari perspektif teologis.

Studi Matematika Awal

Cantor menerima gelar doktor pada tahun 1868 dari Universitas Berlin, di mana dia telah belajar dengan Leopold Kronecker, Ernst Eduard Kummer, dan Karl Weierstrass.

Disertasinya dikhususkan untuk teori bilangan, seperti juga Habilitationsschrift-nya.

Ketika Cantor mulai mengajar sebagai instruktur di University of Halle, di antara rekan-rekannya ada Eduard Heinrich Heine.

Heine telah mengerjakan masalah yang berkaitan dengan deret trigonometri, dan dia mendesak Cantor untuk mengambil masalah yang menantang apakah, mengingat fungsi arbitrer yang diwakili oleh deret trigonometri, representasi itu unik.

Pada tahun 1870 Heine telah menetapkan keunikan representasi tersebut untuk hampir semua fungsi kontinu, dengan asumsi konvergensi seragam dari deret trigonometri yang bersangkutan.

Cantor berhasil membangun versi teorema keunikan yang semakin umum dalam serangkaian makalah yang diterbitkannya antara tahun 1870 dan 1872, yang paling luar biasa menunjukkan bahwa bahkan jika jumlah titik luar biasa yang tak terbatas untuk representasi diizinkan, keunikan masih dapat ditunjukkan.

jika kumpulan poin “luar biasa” yang tak terbatas itu didistribusikan dengan cara tertentu.

Kumpulan titik luar biasa seperti itu membentuk apa yang disebut Cantor sebagai kumpulan spesies pertama.

Himpunan tak hingga dari titik-titik P dikatakan sebagai spesies pertama jika himpunan titik-titik batasnya P’ berhingga; jika tidak, maka P’ harus berisi jumlah titik tak hingga dan juga memiliki himpunan turunan, himpunan turunan kedua dari P, P”.

Jika untuk suatu bilangan berhingga n himpunan turunan ke-n Pn hanya berisi sejumlah titik berhingga, maka himpunan turunannya akan kosong, yaitu, Pn +1 = .

Untuk set spesies pertama seperti itulah ia mampu menetapkan keunikan representasi deret trigonometri, meskipun ada jumlah titik luar biasa yang tak terbatas.

Teori himpunan transfinit akan muncul dari pertimbangan Cantor kemudian tentang himpunan titik spesies kedua, yang semua himpunan turunannya tak terhingga.

Dari penyanyi ini akhirnya akan menghasilkan hierarki tak berujung dari apa yang dia sebut ordinal transfinite, dan kemudian nomor kardinal yang sesuai.

bilangan real Cantor menyadari bahwa untuk mendefinisikan struktur himpunan titik dari spesies pertama secara jelas diperlukan definisi yang tepat dari bilangan real, yang ia dekati dalam hal fundamental, deret konvergen bilangan rasional dalam makalah terakhirnya tentang deret trigonometri tahun 1872.

Pada tahun yang sama Richard Dedekind memperkenalkan definisinya sendiri yang ketat tentang bilangan real dalam istilah “Pemotongan Dedekind.

” Kedua pendekatan tersebut berkaitan dengan kesinambungan bilangan real secara umum, subjek yang menghantui Cantor selama sisa hidupnya.

Secara khusus, ia berhasil membuktikan hanya beberapa tahun kemudian, pada tahun 1874, bahwa himpunan semua bilangan real pada kenyataannya tak terhingga tak terhingga, yaitu, dari orde tak terhingga yang jelas lebih tinggi daripada himpunan tak terhingga seperti seluruh, rasional, atau bilangan aljabar.

Fakta ini segera mengarah pada artikulasi salah satu masalah Cantor yang paling terkenal: hipotesis kontinumnya, bahwa himpunan tak hingga dari bilangan real R adalah orde berikutnya yang lebih tinggi dari himpunan tak hingga setelah himpunan tak berhingga yang dapat dihitung seperti himpunan semua bilangan asli N.

Cantor menjadi terutama tertarik pada pertanyaan apakah set titik dua dan dimensi yang lebih tinggi dapat memberikan contoh urutan tak terhingga yang semakin tak terbatas, sesuatu yang dia jawab secara negatif pada tahun 1877.

Ini adalah hasil awal penting Cantor lainnya, buktinya (meskipun salah) dari invarian dimensi; bukti pertama yang benar diterbitkan oleh LEJ Brouwer pada tahun 1911.

Antara tahun 1879 dan 1883 Cantor menulis serangkaian artikel yang memuncak dalam sebuah monograf yang diterbitkan secara independen yang ditujukan untuk mempelajari himpunan titik linier, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre: Ein mathematisch-philosophischer Versuch in der Leha re des Unendlichen (Dasar teori umum himpunan: Penyelidikan matematika-filosofis ke dalam teori ketidakterbatasan).

Selain memperkenalkan konsep-konsep seperti himpunan padat di mana-mana, ia menunjukkan bahwa sementara himpunan padat di mana-mana selalu merupakan spesies kedua, himpunan spesies pertama tidak akan pernah padat di mana-mana.

Bilangan Transfinit

Dalam rangkaian makalahnya tentang himpunan titik linier, dan di Grundlagen, Cantor memperkenalkan konsep barunya tentang bilangan transfinit.

Mula-mula, ini terbatas pada bilangan ordinal transfinit yang ia hasilkan dari himpunan titik spesies kedua yang ia perkenalkan pada tahun 1872.

Mengingat seluruh barisan himpunan turunan Pn , tidak ada satupun yang kosong (yaitu, setiap himpunan turunan Pn berisi jumlah tak terbatas dari titik batas): P’, P”, … , Pn , …, Cantor mendefinisikan perpotongan semua himpunan ini sebagai P∞.

Ini adalah himpunan tak hingga yang pada gilirannya mengarah ke himpunan turunan berikutnya P∞+1.

Jika himpunan ini tak hingga, dan kenyataannya setiap himpunan turunan setelahnya, ini menyebabkan hierarki tak berujung dari himpunan turunan tak terbatas lebih lanjut: P’, P”, … , Pn , … , P∞, P∞+1, … , P + n , … , P2∞, … Pada awalnya, Cantor hanya menganggap superskrip sebagai “simbol tak terbatas”, tetapi pada awal tahun 1880-an ia mulai membedakan indeks ini sebagai angka yang terlepas dari kumpulan titik spesies kedua.

Pada saat dia menulis Grundlagen pada tahun 1883, simbol-simbol tak terhingga ini telah menjadi bilangan ordinal transfinit.

Kontroversi dan Kritik

Cantor memahami bahwa ide barunya akan kontroversial, dan karyanya telah mendapat kritik, terutama dari Kronecker, mantan gurunya di Universitas Berlin.

Cantor sangat prihatin tentang kemungkinan keberatan terhadap ide-ide barunya sehingga ia melakukan analisis terperinci tentang subjek secara historis, yang melayani strateginya di Grundlagen untuk menyajikan analisis terperinci tentang dasar-dasar teori himpunan transfinite dari perspektif filosofis dan teologis.

Di Grundlagen dia membuat salah satu pernyataannya yang paling terkenal, bahwa “esensi matematika justru terletak pada kebebasannya” (1996, hlm.182).

Sebagai Cantor kemudian menceritakan kepada matematikawan David Hilbert, pernyataan ini terinspirasi oleh kritik negatif Kronecker telah membuat teori himpunan dan merupakan panggilan untuk keterbukaan pikiran di antara matematikawan, terutama dalam menangani ide-ide baru dan baru yang diusulkan oleh matematikawan muda.

Tetapi oposisi yang dipasang oleh Kronecker memiliki tujuan yang berguna dalam merangsang reaksi filosofis Cantor sendiri dan tekadnya untuk memberikan fondasi yang paling kuat, baik secara matematis maupun filosofis, untuk teori himpunan transfinit.

Apa yang dilakukan Cantor di Grundlagen adalah menyajikan bilangan ordinal transfinit sebagai perpanjangan langsung dari bilangan real.

Tetapi karena dia menghasilkan bilangan real tak terhingga ini sebagai abstraksi dari kumpulan titik, dia menolak kemungkinan adanya bilangan yang sangat kecil.

Dia juga tahu bahwa sifat penting dari bilangan ordinal transfinit adalah noncommutativity mereka, yaitu: Perbedaan tersebut membawa wawasan baru untuk perbedaan antara himpunan hingga dan tak terbatas.

Untuk himpunan berhingga dan bilangan urut yang bersesuaian, penjumlahan dan perkalian bersifat komutatif; himpunan tak hingga lebih menarik karena bilangan urut dan aritmatika transfinitnya yang bersesuaian tidak komutatif.

Cantor mengharapkan pemahaman perbedaan seperti itu tidak hanya akan menjelaskan sifat yang tampaknya paradoks dari yang tak terbatas tetapi juga akan menjawab beberapa keberatan lama terhadap tak terbatas yang secara historis telah begitu persuasif untuk matematikawan dan filsuf sama.

kardinal transfinit dan aleph cantor Meskipun Grundlagen menawarkan presentasi sistematis dari bilangan ordinal transfinit Cantor, tidak disebutkan inovasinya yang paling terkenal: bilangan kardinal transfinit, atau aleph.

Memang, di Grundlagen tidak ada indikasi bahwa kekuatan himpunan tak hingga disamakan dengan konsep bilangan kardinal transfinit, langkah yang pertama kali dia ambil dalam kuliah yang dia sampaikan di Freiburg pada September 1883.

Selama dekade berikutnya dia menggunakan sejumlah notasi yang berbeda untuk bilangan kardinal transfinit, tetapi tidak memutuskan simbol yang pasti sampai Giulio Vivanti, seorang matematikawan Italia yang sedang menulis sebuah monograf pengantar teori himpunan, bertanya kepada Cantor tentang notasi.

Baru kemudian dia akhirnya memilih aleph Ibrani untuk nomor kardinal transfinite.

Dalam “Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre” (Kontribusi pada pendirian teori bilangan transfinit) ia menetapkan bilangan kardinal transfinit terkecil sebagai 0.

Juga di “Beiträge” Cantor menawarkan interpretasi aljabar dari hipotesis kontinumnya, berdasarkan buktinya pada tahun 1891 bahwa dengan memberikan himpunan P yang tak terbatas, himpunan semua himpunan bagiannya memiliki pangkat yang lebih tinggi daripada P.

Karena kardinalitas dari himpunan semua bilangan real dapat ditulis sebagai 2¿0, dan jika 1 adalah besar berikutnya kardinal berikut 0, maka hipotesis kontinum sekarang dapat dinyatakan sebagai 2¿0 = 1.

Cantor berharap bahwa dengan rumusan aljabar baru dari hipotesis ini, dia akan segera berhasil menghasilkan bukti bahwa pangkat bilangan real memang sama dengan 1.

Dia tidak pernah berhasil melakukannya, karena alasan yang baru terlihat pada abad kedua puluh, berkat hasil Kurt Gödel (yang menetapkan bahwa hipotesis kontinum konsisten dengan aksioma dasar teori himpunan Zermelo-Fraenkel) dan Paul Cohen (yang menunjukkan, sebaliknya, bahwa hipotesis kontinum tidak tergantung pada aksioma yang sama), yang berarti bahwa adalah mungkin untuk memahami teori himpunan yang konsisten di mana hipotesis kontinum Cantor tidak berlaku.

Publikasi besar terakhir Cantor muncul dalam dua bagian dalam jurnal Mathematische Annalen pada tahun 1895 dan 1897.

“Beiträge” tidak hanya menawarkan penjelasan lengkap tentang bilangan ordinal dan bilangan kardinal transfinitenya, tetapi juga teorinya tentang tipe keteraturan, yang menyelidiki secara rinci sifat-sifat yang berbeda.

Bilangan Asli

Himpunan bilangan bulat yang tertata baik, diambil dalam urutan alaminya, ia tunjuk (w; himpunan bilangan rasional dalam tatanan alaminya, yang padat di mana-mana tetapi tidak kontinu, ia tentukan h; himpunan seperti bilangan real yang kontinu dia ditunjuk oleh urutan-jenis q.

Tetapi hasil yang dia harapkan untuk dicapai dalam “Beiträge” tetapi gagal untuk menghasilkan, yaitu, bukti hipotesis kontinumnya, tetap ilusif manik depresi penyanyi Banyak yang telah ditulis tentang sejarah penyakit mental Cantor yang malang , yang oleh beberapa penulis dikaitkan dengan kritik keras terhadap teori himpunan transfinite Cantor dari Kronecker.

Tetapi studi terbaru menunjukkan bahwa apa yang diderita Cantor adalah manik depresi, yang akan menimpanya terlepas dari kontroversi seputar pekerjaan matematikanya (lihat Grattan-Guinness 1971 , Dauben 1979, Charraud 1994) Sedangkan kerusakan serius paling awal terjadi pada tahun 1884, ketika Cantor mengalami kekecewaan pertamanya dalam mencoba membuktikan kontinuitas.

Hipotesis (untuk penjelasan rinci tentang apa yang terjadi, lihat Schoenflies 1927), manik depresi menjadi lebih serius seiring bertambahnya usia, dan setelah 1900 ia menghabiskan waktu yang semakin lama di bawah perawatan profesional, sering kali di Nervenklinik di Halle.

Juga, setelah serangan pertama pada tahun 1884, Cantor mulai mengambil minat selain matematika, termasuk gagasan bahwa Francis Bacon adalah penulis sebenarnya dari tulisan-tulisan yang dikaitkan dengan William Shakespeare dan bahwa Joseph dari Arimatea adalah ayah kandung Yesus.

Cantor juga memulai korespondensi ekstensif dengan para teolog Katolik, dan bahkan menulis kepada Paus Leo XIII secara langsung, dengan harapan bahwa pemahaman yang benar tentang tak hingga secara matematis, dalam kaitannya dengan teori himpunan transfinitnya, akan membantu gereja menghindari membuat pernyataan yang salah tentang subjek tersebut.

Terutama jika menyangkut sifat Tuhan yang benar-benar tak terbatas, yang menurut Cantor konsisten tetapi sepenuhnya berbeda dari konsep teori himpunan transfinit.

Ahli matematika Eric Temple Bell (1986) menawarkan analisis Freudian tentang hubungan Cantor dengan ayahnya, yang penentangan awalnya terhadap keinginan Cantor untuk menjadi ahli matematika Bell dianggap sebagai sumber masalah mental putranya di kemudian hari; baru-baru ini, Nathalie Charraud (1994), seorang psikoanalis Prancis, memeriksa catatan perawatan Cantor di klinik neurologis di Halle dan menawarkan penilaian Lacanian yang berbeda tentang peran yang dimainkan ayah Cantor dalam kehidupan putranya.

Sama pentingnya dalam memahami pembelaan Cantor yang gigih terhadap teori himpunan kontroversialnya adalah peran yang dimainkan agama sehubungan dengan bilangan transfinit, yang ia anggap telah dikomunikasikan kepadanya dari Tuhan secara langsung.

Untuk perincian tentang bagaimana keyakinan agamanya dan periode manik depresi mungkin sebenarnya telah memainkan peran penting dan mendukung dalam pertempuran untuk menetapkan teori himpunan transfinit sebagai bagian mendasar dari matematika modern, lihat Joseph Warren Dauben (2005).

Salah satu aspek terakhir dari karir Cantor sebagai matematikawan patut disebutkan secara singkat, karena ia terutama bertanggung jawab atas pembentukan Deutsche Mathematiker-Vereinigung (Masyarakat Matematika Jerman), di mana Cantor terpilih sebagai presiden pertamanya pada tahun 1891.

Ia juga berperan dalam mempromosikan gagasan Kongres Internasional pertama Matematikawan, dimulai dengan Zürich pada tahun 1897, dan kemudian Paris pada tahun 1900 (Dauben 1979, hlm.163–165).

Paradoks Teori Himpunan

Untuk menyimpulkan dengan penilaian signifikansi Cantor untuk filsafat, dia terutama bertanggung jawab untuk menjadikan tak terbatas sebagai bagian sentral dari matematika modern.

Sejak zaman Yunani, penemuan Zeno tentang paradoks gerak dan penentangan Aristoteles terhadap konsep ketidakterbatasan yang lengkap (sebagai lawan dari potensi tak terbatas) membuat sebagian besar ahli matematika menghindari penggunaan yang tak terbatas dalam pekerjaan mereka.

Cantor menghadap kepala subjek dan berargumen bahwa tidak ada yang secara inheren kontradiktif dalam mempertimbangkan kumpulan himpunan titik yang sebenarnya tak terbatas atau himpunan tak terbatas dari bilangan bulat, rasional, dan bilangan real sebagai objek pemikiran yang terpadu dan lengkap.

Perenungannya tentang ini akhirnya mengarah pada pengembangan teori himpunan transfinit, aritmatika transfinit, dan konsep fundamentalnya tentang bilangan ordinal dan kardinal transfinit.

Kontribusi terbesarnya adalah memahami peran yang dimainkan ini dalam membangun fondasi yang tepat untuk matematika, yang pada dasarnya dia dekati dengan istilah formalis.

Konsistensi, bagi Cantor, adalah satu-satunya ujian yang harus dilalui oleh teori matematika baru sebelum dia menganggapnya sah sebagai subjek untuk dipelajari dan diterapkan.

Ketika Cantor sendiri pertama kali menyadari kontradiksi yang melekat dalam mencoba memutuskan bilangan urut dari himpunan semua bilangan urut transfinit, atau kardinalitas himpunan semua bilangan kardinal transfinit, solusinya adalah dengan hanya melarang “koleksi” semacam itu dari matematika, dengan mengatakan mereka terlalu besar untuk dianggap sah sebagai “set”.

Tetapi ketika orang lain seperti Cesare BuraliForti dan Jules Richard mulai mempertimbangkan antinomi dari teori himpunan, Bertrand Russell menemukan paradoks logis di jantung teori himpunan yang melibatkan himpunan semua himpunan yang bukan anggota dari dirinya sendiri.

Salah satu solusi untuk dilema ini dikemukakan oleh Ernst Zermelo, yang berusaha untuk mengaksiomakan teori himpunan sedemikian rupa sehingga paradoks akan dikecualikan.

Perkembangan lebih lanjut di sepanjang garis tersebut dibuat oleh Russell dan Alfred North Whitehead di Principia Mathematica mereka yang monumental; aksiomatisasi alternatif juga dikemukakan oleh Abraham Fraenkel dan John von Neumann, antara lain.

Pada akhir hidupnya, Cantor adalah seorang ahli matematika yang dihormati oleh Royal Society dengan Medali Copley untuk kontribusinya yang luar biasa terhadap matematika.

Ia juga diberikan gelar kehormatan oleh Universitas St.Andrews (Skotlandia).

Hari ini, penghargaan tertinggi yang diberikan oleh German Mathematical Society adalah medali untuk menghormati presiden pertamanya, Georg Cantor