Biografi dan Pemikiran Filsafat Luitzen Egbertus Jan Brouwer

Luitzen Egbertus Jan Brouwer, pendiri intuisionisme matematika, lahir pada tahun 1881 di Overschie, dekat Rotterdam, Belanda. Setelah bersekolah di Medemblik, Hoorn, dan Haarlem, ia belajar matematika di Municipal University of Amsterdam.

Ia memperoleh gelar doktor pada tahun 1907 untuk tesisnya, Over deGrondslagen der Wiskunde (Amsterdam dan Leipzig, 1907).

Ia menjadi guru privat di Amsterdam pada tahun 1909 dan menjabat sebagai profesor di sana dari tahun 1912 hingga pensiun pada tahun 1955. Pada tahun itu ia menjadi profesor ia terpilih ke Royal Dutch Academy of Sciences.

Selain kontribusi pada fondasi matematika, Brouwer membuat jurusan kontribusi untuk bidang matematika lainnya, khususnya untuk topologi, di mana publikasi terpentingnya berasal dari periode 1909–1913. Topologi kombinatorial atau aljabar muncul melalui penemuan Henri Poincaré pada tahun 1890-an.

Teknik dasar Poincaré adalah menganalisis angka-angka menjadi kombinasi angka-angka sederhana dan untuk mewakili struktur topologi angka-angka dengan sifat aljabar kombinasi. Brouwer memperluas dan memperdalam teknik ini, terutama dalam kaitannya dengan pertanyaan tentang keberadaan pemetaan dan titik tetap.

Dia membuktikan hasil klasik seperti invarian dimensi topologi, yang menyiratkan bahwa tidak ada pemetaan satu-ke-satu yang tidak kontinu dari ruang m dimensi Euclidean ke Euclidean n -ruang dimensi,untuk m n.

Meskipun ia terutama seorang matematikawan, Brouwer selalu sibuk dengan filsafat umum dan telah menguraikan visi filosofis yang sangat individual.

Memang, fitur yang paling luar biasa dari karya Brouwer di dasar matematika adalah keberanian dan konsistensi dengan mana, mulai dari posisi filosofisnya sendiri, dia mempertanyakan prinsip-prinsip yang menjadi dasar matematika yang dia warisi, hingga prinsip dasar seperti hukum. dikecualikan tengah, dan kemudian melanjutkan untuk mengkritik prinsip-prinsip ini secara rinci dan untuk mulai merekonstruksi matematika atas dasar yang dianggap sebagai suara.

Meskipun ia kemudian disajikan mereka lebih sistematis, esensi dari filosofi Brouwer sudah hadir dalam tesisnya tahun 1907 dan, dalam beberapa hal, inLeven, Kunst, en Mystiek (Delft, 1905).

Karya-karya ini mendahului langkah-langkah yang menentukan dalam pengembangan intuisionisme matematika. Akibatnya, Brouwer berpendapat dalam tesisnya bahwa logika adalah turunan dari matematika dan bergantung pada buktinya pada intuisi matematika yang pada dasarnya bersandar pada dasar yang dekat dengan gagasan Immanuel Kant tentang waktu sebagai “bentuk indra batin”.

Kehidupan intelektual dimulai dengan “persepsi temporal”, di mana diri memisahkan pengalaman satu sama lain dan membedakan dirinya dari mereka. Brouwer menggambarkan persepsi temporal ini sebagai “kehancuran momen kehidupan menjadi dua hal yang berbeda secara kualitatif, yang satu menarik diri sebelum yang lain dan tetap dipegang oleh ingatan” (“Weten, Willen, Spreken,” 1933).

Persepsi ini, bagaimanapun, termasuk dalam sikap (yang sebelumnya disebut oleh Brouwer sebagai “pertimbangan matematis”) yang diadopsi oleh diri untuk mempertahankan dirinya sendiri; adopsi sikap ini adalah tindakan kehendak bebas, dalam arti luas bahwa Brouwer mungkin berasal dari Arthur Schopenhauer.

Intuisi dasar matematika adalah struktur persepsi temporal ini “dilepas dari semua konten”; dalam matematika orang melihat bahwa proses pembagian dan sintesis dapat diulang tanpa batas, sehingga menimbulkan deret bilangan asli.

Dalam urutan temporal yang terungkap, orang selalu dapat membayangkan elemen baru disisipkan di antara elemen yang diberikan, sehingga Brouwer dapat mengatakan bahwa teori bilangan asli dan kontinum berasal dari satu intuisi, dan gagasan bahwa, dari sudut pandangnya, dibuat lebih lengkap dan lebih banyak lagi. tepat oleh teorinya tentang urutan pilihan bebas, meskipun orang mungkin berpendapat bahwa itu dibuat berlebihan oleh teori itu.

Konstruktivisme Brouwer dikembangkan dalam konteks ini. Konstruktivismenya mungkin kurang dimotivasi oleh desakan pada bukti absolut dan penolakan hipotesis (yang mungkin telah menyebabkan “finitisme” dalam pengertian istilah David Hilbert atau bahkan tesis yang lebih sempit) daripada oleh subjektivisme Brouwer dan desakannya pada keunggulan kehendak atas intelek.

Atas dasar ini, matematika harus terdiri dari aktivitas mental yang konstruktif, dan pernyataan matematika harus menjadi indikasi atau laporan dari aktivitas tersebut. Brouwer memuji cara memandang matematika ini atas inspirasi gurunya, Gerrit Mannoury.

Dalam tesisnya, Brouwer membatasi dirinya untuk mengkritik teori-teori alternatif dari matematika dasar dan untuk mengkritik teori himpunan Cantorian, tetapi dalam “De Onbetrouwbaarheid der Logische Principes” (1908), mungkin mendesak Oleh Mannoury, Brouwer meragukan keabsahan hukum pengecualian tengah, meskipun ia masih menganggap pertanyaan itu terbuka.

Dalam Intuitionisme en Formalisme (1912) Brouwer tidak mengatakan dengan tegas bahwa hukum mengecualikan tengah adalah salah, tetapi ia memberikan contoh argumen standarnya, sebuah contoh seperti yang disajikan di bagian intuisionisme dalam entri berjudul “Matematika, Fondasi,” yang juga memberikan penjelasan lebih lengkap tentang konstruktivisme.

Dalam sejumlah publikasi mulai tahun 1918 dan berlanjut hingga tahun 1920-an, Brouwer mengembangkan matematika intuisionis dan mengerjakannya secara rinci kritik terhadap matematika klasik, menentukan cabang matematika yang berbeda yang mana dari teorema mereka secara intuitif benar.

Dalam “Begründung der Mengenlehreunabhängig vom logischen Satz vom ausgeschlossenenDritten,” Brouwer berusaha mengembangkan teori kumpulan intuisi, di mana teori kontinum dapat didasarkan.

Dalam karya ini ia memperkenalkan konsepnya tentang himpunan (Menge; kemudian, dalam “Titik dan Ruang,” 1954, ia menyebutnya “menyebar”) dan oleh karena itu gagasan tentang urutan tak terbatas arbitrer yang dihasilkan oleh pilihan bebas berturut-turut.

Dia juga memperkenalkan gagasan spesies, yang mengarah pada versinya sendiri tentang hierarki predikatif kelas. Prinsip bahwa nilai suatu fungsi di mana-mana yang didefinisikan pada spread harus, untuk barisan yang diberikan sebagai argumen, ditentukan oleh sejumlah suku terhingga yang cukup besar sudah ada dalam “Begründung der Mengenlehre.” Ini “aksioma kontinuitas” adalah yang pertama dari dua prinsip khas analisis intuisionis.

Dalam “Beweis, dass jede volle Funktion gleichmässigstetig ist” (1924), Brouwer mengumumkan bukti bahwa fungsi di mana-mana didefinisikan pada interval unit tertutup seragam kontinu.

Dalam pembuktian ini, Brouwer menggunakan dua pernyataan mendasar tentang spread, yang kemudian disebut teorema barand fan. Teorema batang, atau pernyataan yang setara, merupakan prinsip khusus lain dari analisis intuisionis.

Bukti Brouwer disajikan secara lengkap dalam “Über Definitionsbereiche von Funktionen” (1927) dan dikerjakan ulang, dalam pengaturan yang lebih umum, dalam “Points and Spaces.” Setelah Perang Dunia II Brouwer menerbitkan serangkaian panjang makalah pendek di mana ia mengembangkan jenis contoh tandingan baru untuk teorema klasik, berdasarkan prinsip baru lainnya.

Filosofi Brouwer tidak terbatas pada apa yang relevan dengan dasar matematika. Pertimbangan matematis memiliki fase kedua, yang disebutnya perhatian kausal. Dalam fase ini “seseorang mengidentifikasi dalam imajinasi serangkaian fenomena tertentu satu sama lain,” sebuah operasi di mana seseorang dapat memilih objek dan mendalilkan aturan sebab akibat.

Hubungan antara persepsi temporal dan perhatian kausal analog dengan hubungan antara kategori matematis dan dinamis Kant, Inti dari pertimbangan matematis terletak pada kenyataan bahwa hal itu memungkinkan penggunaan sarana: Seseorang menghasilkan fenomena yang akan diikuti dalam serangkaian pengulangan tertentu. oleh fenomena yang diinginkan yang tidak dapat secara langsung direproduksi. Hal ini membuat pengejaran kepuasan naluriah lebih efisien.

Terutama di Leven, Kunst, en Mystiek dan dalam “Kesadaran, Filsafat, dan Matematika” (1948), Brouwer menganggap “tindakan matematis” ini sebagai semacam kejatuhan dari anugerah, yang hasilnya tidak pasti. dan akhirnya mengecewakan. Dengan pandangan ini ia memasangkan pesimisme tentang masyarakat.

Masyarakat didasarkan pada komunikasi, yang merupakan bentuk tindakan matematis. Apa yang biasanya disebut mengomunikasikan pikiran seseorang sebenarnya sama dengan memengaruhi tindakan orang lain, meskipun terkadang komunikasi jiwa yang lebih dalam didekati.

Brouwer, bagaimanapun, tidak selalu lepas dari semua upaya reformasi sosial, seperti yang ditunjukkan oleh partisipasinya, segera setelah Perang Dunia I, dengan penyairFrederik van Eeden, Mannoury, dan lain-lain, di SignificCircle, yang tujuan awalnya, terinspirasi oleh pelanggaran. propaganda selama perang, adalah reformasi bahasa yang luas jangkauannya.